"ANALISIS DE AERÓFONOS MEXICANOS"

Conferencia para el Congreso Internacional de Computación CIC-99. IPN, México, noviembre de 1999.

Roberto Velázquez Cabrera, E-mail: rvelaz.geo@yahoo.com

Resumen.

Usando réplicas experimentales y herramientas computacionales, el estudio pretende ayudar a rescatar y divulgar la milenaria y rica organología del México antiguo que fue destruida, prohibida y olvidada desde la Conquista, hace cinco siglos. Se realizó una búsqueda para localizar técnicas aplicables. Ninguno de los campos formales de investigación existentes se ha ocupado de la organología mexicana. Sólo se han aplicado dos ecuaciones a aerófonos antiguos: 1) la de tubos abiertos de Bernoulli, se utilizó en flautas Aztecas; 2) la de Hemholtz a vasos silbadores. Los que analizan sonidos complejos como los biológicos, han usado espectrogramas para analizarlos en es dominio de las frecuencias. Se han utilizado otras técnicas pero se han aplicado a notas sencillas de instrumentos de viento musicales regulares, en condiciones simplificadas. La mayoría no son aplicables a los aerófonos mexicanos y sus sonidos, por su complejidad. Los que son aplicables requieren de laboratorios que no se encontraron disponibles. Mediante análisis de casos se prueban las técnicas utilizadas y se complementan con herramientas de multimedios, consideradas adecuadas para mostrar las características de los aerófonos mexicanos de estructuras y sonidos complejos. Se incluyen recomendaciones para promover la investigación y fomento de la organología mexicana. El estudio, original en el ámbito nacional e internacional, se detalla en una propuesta de tesis de M en C en computación presentada en el CIC del IPN. La metodología utilizada ya fue probada con aerófonos antiguos.

1. Introducción.

Se detectó que la organología del México antiguo era muy rica y tenía usos múltiples. Desde la conquista española fue destruida y prohibida, debido a que estaba íntimamente ligada a sus costumbres, entre ellos los ceremoniales, rituales, mágicos, chamánicos, de comunicaciones, guerreros, medicinales, de cacería, etc. Con posterioridad, esa política ha sido continuada y reforzada con efectividad como si no hubieran ocurrido la Independencia ni la Revolución, lo que ha conducido a su pérdida y olvido. Aun subsisten muchos de los tesoros organológicos mexicanos, como los que se encuentran en las tumbas aun no descubiertas y en las bodegas y vitrinas de los museos y demás tenedores de bienes muebles arqueológicos sonoros. Pero en los últimos cinco siglos no se han estudiado con profundidad sus propiedades y características organológicas y sonoras, a pesar del ordenamiento expreso de las leyes de la materia para investigar y divulgar las culturas prehispánicas e indígenas. Las áreas sustantivas relacionadas con este patrimonio cultural singular en la historia de la humanidad no disponen de las técnicas e instrumentos para promover los estudios requeridos y las áreas tecnológicas no se han interesado en investigarlo. Algunos hasta se oponen a que otros lo hagan.

Se detectó que han surgido estudios sobre los instrumentos musicales, pero su aplicación formal a aerófonos antiguos como los mexicanos es muy reducida. Algunos de centros avanzados de la computación [Skordos, 1995] [Martin, 1998] no se pueden aplicar a aerófonos mexicanos complejos. Se detectaron solo dos casos en que se aplicaron ecuaciones. Uno es de Castañeda D. [Castañeda, 1930] que utilizó la ecuación de Bernoulli a unas flautas Aztecas y otro es el de Garret, S. y Statnekov, D. [Garret, 1977] que aplicaron la fórmula de los resonadores de Hemholtz a vasos silbadores Peruanos. Se detectó que los que estudian señales complejas, como los derivados de sonidos biológicos, utilizan espectrogramas basados en la Transformada de Fourier para analizarlos en el espacio de las frecuencias. Para analizar dos ocarinas utilizaron espectros en un estudio [Raucliffe, 1986] que incluye diversos cortes de aerófonos complejos. Existe un conjunto amplio de programas de multimedios, para procesar, dibujos, fotografías, gráficas, sonidos y videos, que pueden ser de utilidad para analizar y divulgar la organología mexicana.

Todas las herramientas computacionales utilizadas se buscaron y seleccionaron de la capa más alejada del nivel físico, del modelo conceptual de posibles alternativas de 7 niveles: 1) Mecatrónica, 2) Lenguaje de máquina, 3) Ensamblador, 4) Lenguajes de nivel inferior, medio y superior, 5) Compiladores especializados, 6) Intérpretes y 7) Programas de aplicación especializada. La razón fue que el nivel 7 es el más cercano a los usuarios no expertos en computación. Una ventaja adicional es que en ese nivel existen disponibles en Internet diversos programas de costo bajo o nulo y su uso no requiere de tareas de programación.

2. Análisis de la flautita mexica 130.

2.2 Ecuación de Bernoulli, utilizada por Daniel Castañeda.

Utilizó la siguiente ecuación de tubos abiertos para analizar 5 flautas Aztecas:

N=170/(L+0.6*D) (1)

Donde:

N = Frecuencia, en ciclos/seg.:

L = Longitud (desde la salida del aeroducto hasta el hoyo), en metros;

D = Diámetro interno del tubo, en metros;

0.6= es un factor de corrección y;

170 = 340 (velocidad del sonido) /2

Esa ecuación se probó con un modelo experimental de latón elaborado con base a un plano de castañeda de la flautita más pequeña denominada 130. El modelo tiene un aeroducto corto inclinado de tapón de madera. Toca muy bien con el timbre característico del metal. Como este resonador es muy aproximado acústicamente al real se realizó un análisis de frecuencias con un programa afinador "Tuneit" [Volkner] con diapasón igual al usado por Castañeda (La₄=435 Hz). Esta flauta produce una gama muy amplia de sonidos en sus modalidades de tubo abierto y cerrado, cuyas frecuencias fundamentales varían de 1,170 c/seg. hasta 6,220 c/seg. (rango de 5,050c/seg), que aproximadamente van desde un Re₅ hasta un Sol₇. Se pueden producir algunas frecuencias armónicas superior a 10,000 c/seg., cuando se cambia de tubo abierto a cerrado o viceversa y se varia la intensidad. Se midieron sus frecuencias mínimas y máximas de la escala baja como tubo abierto (Series 1 y 2) y se calcularon las frecuencias teóricas con la formula 1 de Bernoulli con el factor 0.6 (Serie 3), mismas que no concuerdan, como se ve en las funciones de la Figura 1. Con un factor de 1.37 se obtiene una mejor aproximación (Serie 4). Pero como ese modelo matemático no se puede ajustar exactamente, se ve que la frecuencia no es sólo función de una variable dada y tampoco es de valores únicos en cada digitación.

Fig. 1. Gráfica de las frecuencias del Modelo 6 abierto.

2.3 Modelos de barro

Se hicieron otros modelos como el de la figura 2. Lo más relevante es que pueden cubrir una gama amplia de notas dentro de dos o tres octavas. Una flauta desde Do₅ hasta Do₇. Otra desde Si₆ hasta Ab₇.

Fig. 2. Fotografía del modelo en barro 10-1.

En las funciones medidas con el programa "Tuneit" y graficadas en la Figura 3 se ven los rangos de frecuencias que produce el modelo de la Figura 2 y que van desde un Do₅ hasta un Si₆, aproximadamente equivalentes a frecuencias de 1,030 y 3,900 c/seg., respectivamente, así como las series de frecuencias aproximadas encontradas en relación a las distancias de los hoyos que las producen en sus dos modos: 1 y 2 son máximas y mínimas operando como tubo cerrado y 3, 4 y 5 máximas, medias y mínimas, operando como tubo abierto. La zona entre los máximos y mínimos representa el rango de frecuencias de armónicos fundamentales que puede generar ese modelo.

Fig. 3. Gráfica de frecuencias del modelo de barro 10-1.

2.3 Ejercicios con ajuste de curvas.

Utilizando un programa especializado "DataFit" [Oakdaleengr], se tomaron las frecuencias medias de la flauta, operada en forma abierta. La gráfica del polinomio ajustado se muestra en la Figura 4. Los pares datos de distancia (cm) y frecuencia (Hz) son:

(17.0, 3.40), (29.5, 2.85), (42.0, 2.56), (53.0, 2.25) y (68.0, 2.07).

La ecuación ajustada es: y=a*x^2+b*x+c, y sus parámetros:

a=0.0004286, b=-0.06292 y c=4.330

Fig. 4. Gráfica del modelo 10-1 abierto.

2.4 Una sílaba bitonal mexicana

Utilizando el programa especializado "Gram" [Horne] que genera espectrogramas a partir de señales grabadas en formato "Wav" se ve que la flauta mexica 130 puede producir una "sílaba bitonal" (Figura 5), cuando se opera en forma cerrada y abierta. La nota baja sólo tiene una frecuencia fundamental y la alta incluye armónicas superiores. Sus formas no son iguales y se generan en un rango. También es notable que en el tiempo que sucede el cambio de los dos sonidos hay dos grupos de frecuencias fundamentales diferentes, que aparecen en forma simultánea o traslapada. Seguramente, lo anterior incide en la generación de sus dos timbres Mexicanos característicos. Estos descubrimientos no se han visto en estudios anteriores sobre las flautas antiguas Mexicanas, que se han realizado desde el siglo pasado.

En la parte superior de la Figura 5 se muestra la señal en el tiempo, que no se aprecia bien por su tamaño y en la inferior el espectro proyectado en el plano de frecuencia-tiempo. El tercer eje que no se ve es el de la intensidad (dB). La frecuencia de grabación fue de 22 kHz y las escalas de graficación de frecuencia y tiempo son lineales.

Fig. 5 Espectrograma de la sílaba bitonal.

3. Experimentos con la ecuación de Hemholtz.

En este caso se prueba con modelos experimentales de barro (Figura 6) uno de los dos modelos matemáticos que se han aplicado a aerófonos antiguos. Steven Garret y Daniel Statnekov Stat estudiaron [Garret, 1977] 73 vasos silbadores de barro Peruanos. Aplicaron la formula de frecuencias que Helmholtz obtuvo con sus resonadores esféricos de metal de sus experimentos de laboratorio. Aunque sus conclusiones las obtuvieron con las frecuencias medidas de los silbatos, resulta interesante que han sido los únicos que han aplicado la ecuación de Hemholtz, a aerófonos antiguos. La formula usada es (2):

Fh = (c/2 pi)(S/l' V)^1/2, (2)

Donde:

S=1/4 pi d² =Sección del orificio

d= Diámetro promedio del orificio

V= Volumen de la cavidad del silbato

c= Velocidad del sonido en el aire

l'= l+0.7*d = Longitud de la pestaña corregida o grueso del silbato

En el experimento actual se seleccionó también a la esfera, porque su forma fue muy usada en México, ya que es el espacio resonador de diversos silbatos y ocarinas Se les agregó una embocadura de pico para generar la corriente de aire de excitación.

Fig. 6. Modelos de barro globulares.

Con el programa "Tuneit" se midieron las frecuencias mínimas, medias y máximas de las frecuencias fundamentales de los sonidos de los silbatos experimentales. Con tubos graduados y semilla de alfalfa y con arena de playa (para los pequeños) se determinó el valor del volumen interno V, así como los demás datos requeridos en las fórmulas (2), con la que se calcularon las frecuencias correspondientes. Para mantener una congruencia, se usó el mismo dato para la velocidad del sonido en el aire, que uso Castañeda, de 340 m/s=34,000 cm/s. La principal diferencia entre los modelos experimentales de Hemholtz y los silbatos, en lo referente a los datos de su geometría es que el hoyo de entrada en los modelos metálicos era circular y en los de barro son rectangulares, como se ve en la Figura 1. En los rectangulares el diámetro d se calcula como el promedio del largo y ancho de la boca.

Los resultados del experimento indican que Los rangos de sonidos producidos muestran que los silbatos, considerados como monotonales, pueden producir sonidos en rangos de frecuencias. Las frecuencias calculadas con la formula (2) se acerca más a las frecuencias medias medidas, posiblemente por usar el factor 0.7*d de ajuste al grueso del resonador. Es conveniente señalar que las fórmulas usadas son muy sensibles a pequeñas variaciones de s, d y l. Y la función de Hemholtz se puede aprovechar de varias maneras:

• Para diseñar silbatos de frecuencias aproximadas predeterminadas. Sólo hay que considerar la reducción del barro al secarse, si se elaboran de ese material. Basta hacer modelos de prueba para determinar el porcentaje de reducción del barro y predecir el volumen final correspondiente a la frecuencia deseada.
• Si se aprovechan objetos rígidos como bules, cuatecomates, nueces de macadamia, etc., solo se tiene que medir su volumen para conocer aproximadamente las frecuencias que puede producir, aun antes de hace los silbatos y sin necesidad de un afinador. Las frecuencias producidas se pueden ajustar con cambios del tamaño del hoyo de insuflación.
• Si se tiene un silbato de esa forma ya elaborado, midiendo sus dimensiones se pueden conocer las frecuencias aproximadas que puede generar.

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V/FRECUENCIAS / s/ d/ l/ FRECUENCIA AJUSTADA

(ml)/ MÍNIMA/ MEDIA/ MÁXIMA/ cm2/ cm/ cm/Hz

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2.0/ 2,150/ 2,240/ 2,400/ 0.21/ 0.5/ 0.3/ 2,754

2.4/ 2,100/ 2,190/ 2,235/ 0.28/ 0.57/ 0.3/ 2,700

5.8/ 1,550/ 1,570/ 1,595/ 0.45/ 0.7/ 0.4/ 1,956

39/ 590/ 630/ 670/ 0.50/ 0.75/ 0.4/ 774

55/ 480/ 506/ 530/ 0.42/ 0.65/ 0.5/ 624

96/ 360/ 390/ 430/ 0.54/ 0.75/ 0.5/ 503

135/ 305/ 340/ 380/ 0.45/ 0.7/ 0.5/ 405

254/ 220/ 240/ 260/ 0.55/ 0.5/ 0.5/ 310

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Tabla 1. Volumen-frecuencia de las esferas de barro.

4. Visualización de aerófonos y sonidos complejos

Para mostrar las herramientas que se pueden utilizar para analizar visualmente los aerófonos mexicanos se incluye el ejemplo de un aerófono de fuelle de aire, que genera sonidos complejos similares al ruido. Este tipo de aerófonos es uno de los que se consideran más mexicanos, ya que no se han encontrado fuera de la Zona del México Antiguo. Su estructura y sonidos se alejan mucho de los instrumentos y gustos musicales actuales. En las Figuras 7, 8, 9 y 10 se muestran la fotografía digital, el dibujo con "pixels" de una vista de su corte y los espectrogramas en 3D y 2D, respectivamente. Los programas que generan los espectrogramas usan una rutina de Transformada Rápida de Fourier (FFT), para obtener las componentes de frecuencias de la señal de entrada grabada en el tiempo.

Fig. 7. Aerófono de fuelle de aire.

La fotografía fue tomada con una cámara digital "Casio"

Fig. 8. Vista del corte del fuelle de aire. El dibujo se hizo con pintando "pixels" con "Paint" de Windows.

El corte de la Figura 8 muestra la estructura interior y de sus cámaras y tubos. Los ruidos complejos que genera se forman al chocar la corriente de insuflación, que se introduce por tubo izquierdo y el hoyo inferior, al chocar en forma vibratoria con las ondas de presión que se ejerce del aire proveniente hoyo inferior de la cámara globular, mismos que se transmiten al tubo resonador de salida.

Fig. 9. Espectrograma 3D del aerófono de fuelle de aire.

La Figura 9 muestra el espectrograma con amplitud en dB y frecuencias en una escala musical, no lineal (obtenido con el programa "Tuneit"). El tiempo se visualiza al corre hacia atrás la ventana de la FFT hacia el fondo. Se ve que los complejos componentes de frecuencia del sonido cubren un ancho de banda amplia. Los picos de mayor magnitud corresponden a las dimensiones de la cámara globular y del tubo resonador.

Fig. 10. Espectrograma en 2D del aerófono de fuelle de aire.

En la Figura 10 se muestra la misma señal con un espectrograma en 2D (obtenido con el programa "Gram"), usando una escala lineal para las frecuencias. La amplitud corresponde (dB) se da en los tonos de la gráfica. Se estima que la operación detallada de estos aerófonos es difícil de simular con la tecnología disponible.

Este ejercicio demuestra que existen herramientas computacionales que pueden servir para mostrar las características de los aerófonos complejos.

5. Otras herramientas de multimedios.

Existe un conjunto amplio de programas que pueden ser utilizados para analizar y divulgar la organología mexicana, pero no se pueden incluir en papel, ya que su objeto esta destinado al diseño de "Webs", presentaciones en conferencias o en los medios de comunicación, como los que procesan sonidos, imágenes y videos digitales. Algunos de ellos (PhotoShop, QickTime, GIF Construction Set, etc), que están disponibles en el Laboratorio de Multimedia del CIC, se aprovecharon para hacer unos ejercicios adicionales, que se localizan en las páginas del autor, junto al estudio de referencia [Velázquez-Cabrera, 1999, 1]y otros posteriores que ya se realizaron sobre aerófonos antiguos para probar la metodología propuesta [Velázquez-Cabrera, 1999, 2 y 3].

El estudio de detalle se desarrolló en un año y medio y su costo autofinanciado se estima en cerca de $600,000 pesos (al 31 de junio de 1999), cuyo rubro mayor es de un investigador y un ayudante. Para aplicar los resultados del estudio sólo se requiere de una computadora personal, con tarjeta de sonido y un micrófono y el sistema Windows 95, si se dispone de los aerófonos a analizar.

6. Conclusiones y recomendaciones.

El estudio prueba que sí existen técnicas y herramientas computacionales que pueden servir para ayudar a descubrir secretos guardados en la organología mexicana. Muestra técnicas computacionales sencillas de usar y de bajo costo para extender la investigación a otros bienes muebles arqueológicos sonoros.

Entre las recomendaciones emitidas, destaca la de promover la creación de un organismo o área que tenga la finalidad y la capacidad de preparar el personal y desarrollar programas de fomento para investigar y divulgar la organología mexicana.

Con las réplicas construidas (varios cientos) y las técnicas computacionales detectadas y probadas es factible desarrollar a corto plazo proyectos adicionales, como museos reales y/o virtuales y otros proyectos de difusión. Aprender a elaborar réplicas experimentales, permitió recuperar un arte fino de valor para mejorar nuestra capacidad creativa y productiva.

Referencias.

1. Castañeda, Daniel. "Las Flautas en la Civilizaciones Azteca y Tarasca. I. Civilización Azteca". "Música" Revista Mexicana, S. A. Editora de Música Revista Mexicana, No. 8. 15 de Noviembre de 1930.
2. Garret, S. and Statnekov D. K., "Peruvian Whistling Bottles", The Journal of Acoustical Society of America, Vol. 62, No. 2, August, 1977. (http://www.statnekov.com/peruwhistles/jasa.html).
3. Horne, Richard, Spectogram V 5.0.9, Freeware, Gram (http://www.monumental.com/rshore/gram.html).
4. Martin, K. D. and Kim, Y. D. "2pMU9. Musical Instrument Identification: A pattern-recognition approach", MIT Media Lab Machine Listening Group, Paper presented at the 136th meetting of the Acoustical Society of America, October 13, 1998 (http://sound.media.mit.edu/pub/Papers/kdm-asa98.pdf).
5. Oakdaleengr, DataFit V.6.0.10 (http://www.oakdaleengr.com/). Usado en tiempo de prueba.
6. Raucliffe, Susan. "Complex Acoustics in Pre-Columbian Flute Systems", Experimental Musical Instruments, Organology, Vol. III, #2, 1986 Publicado también en el libro "Musical Repercussions of 1942: Encounters in Text and Performance", Smithsonian Institution Press, 1992.
7. Skordos, P. A.,"Modeling flue pipes: subsonic flow, lattice Bolzmann, and parallel distributed computers", Ph.D. thesis , MIT Department of EECS, Articial Intelligence Laboratory, February 1995. (http://ftp-swiss.ai.mit.edu/~pas/phd.ps.z).
8. Velázquez-Cabrera, Roberto. "Análisis de Aerófonos Mexicanos Usando Técnicas Artesanales y Computacionales. Polifonía Mexicana Virtual" Propuesta de tesis de M en C en computación del CIC. IPN. Septiembre, 1999. Puesta en Internet para consulta pública, desde abril de 1999.
9. Velázquez-Cabrera, Roberto. "Aerófono de Viento de Piedra Negra". Julio 1999.
10. Velázquez-Cabrera, Roberto. "Análisis Virtual de la Gamitadera". Junio 1999.
11. Volkmer, D., Shareware, "TUNE!IT", (http://www.zeta.org.au/~dvolkmer/tuneit.html). Usado en tiempo de prueba.

Nota. Los estudios del autor ahora se localizan en Tlapitzalli