Resonadores de Helmholtz de barro

Roberto Velázquez Cabrera

1er borrador, abril 2002

Este ejercicio de caso es para probar uno de los pocos modelos matemáticos conocidos de resonadores [1] que se han aplicado a aerófonos antiguos: el de Herman Ludwing Ferdinand von Helmholtz (1821-1894), pero utilizando modelos experimentales de barro. En este ensayo se atiende una recomendación de un estudio previo del autor [2] para analizar el comportamiento de cada tipo de artefacto sonoro relevante. Se seleccionó el caso de la esfera, porque su forma fue muy usada en México, ya que es el espacio resonador de diversos modelos sonoros de aves, frutas, verduras, vasijas, humanos, animales, etc., que puede ser muy elaborado y diferente en su superficie y forma externa, como se muestra en la siguiente vista del corte de un silbato con forma de ave (Figura 1).

Fig. 1. Corte de un silbato globular con forma de ave.

 

Fig. 2. Modelos de barro globulares.

Se hicieron modelos experimentales de barro de forma globular en varios tamaños (Figura 2), con una embocaduras de pico similar para restringir un poco la gama de sonidos que pueden generar. Aunque la mayoría de los silbatos Mexicanos generan sonidos agudos, se incluyeron algunos de mayor tamaño que también existen, para cubrir bajas frecuencias (desde 230 Hz).

Con un programa de computadora se midieron las frecuencias mínimas, medias y máximas de las frecuencias fundamentales de los sonidos de los silbatos experimentales. Con tubos graduados y semilla de alfalfa y con arena de playa (para los pequeños) se determinó el valor del volumen interno V, así como los demás datos requeridos en la ecuación (1) que ya fue utilizada por Garret y Statnekov [3] para analizar vasos slbadores peruanos, con las que se calcularon las frecuencias F0.

F0 = (c/(2* pi))(S/(l'* V))^1/2,                                      (1)

Donde:

F0 = Frecuencia F0, en ciclos/seg.
S=1/4 pi d² =Sección del hoyo sonoro
d= Diámetro promedio del hoyo sonoro
V= Volumen de la cavidad del silbato
c= Velocidad del sonido en el aire

l'= l+0.7*d = Longitud de la pestaña corregida o grueso del silbato

En la ecuación (1) se usó el mismo dato para la velocidad del sonido en el aire, que en 1930 usó el ingeniero Daniel Castañeda [4] de 340 m/s=34,000 cm/s. La principal diferencia entre los modelos experimentales de Helmholtz (11) y los silbatos, en lo referente a los datos de su geometría es que el hoyo de entrada en los modelos metálicos era circular y en los de barro son rectangulares, como se ve en la figura 2. En los hoyos rectangulares el diámetro d se calcula como el promedio del largo y ancho de la boca. F0MIN, F0MED y F0MAX son las F0s reales mínima, media y máxima, respectivamente.

Tabla 1. Volumen frecuencia de las esferas de barro.

Los resultados más relevantes de experimento, que se reflejan en la tabla 1, son:

• Los rangos de sonidos producidos muestran que los silbatos, considerados como monotonales, pueden producir sonidos en rangos de frecuencias.
• Las frecuencias calculadas con la formula se acerca a las frecuencias medias medidas. Es conveniente señalar que las fórmulas usadas son muy sensibles a pequeñas variaciones de s, d y l.

La función de Helmholtz se puede aprovechar de varias maneras:

• Para diseñar silbatos de frecuencias aproximadas predeterminadas. Sólo hay que considerar la reducción del barro al secarse, si se elaboran de ese material. Basta hacer modelos de prueba para determinar el porcentaje de reducción del barro y predecir el volumen final correspondiente a la frecuencia deseada aproximada.
• Si se aprovechan objetos rígidos como bules, cuatecomates, nueces de macadamia, etc., solo se tiene que medir su volumen para conocer aproximadamente las frecuencias que puede producir, aun antes de hacer los silbatos y sin necesidad de un afinador. Las frecuencias producidas se pueden ajustar con cambios del tamaño del hoyo de su boca.
• Si se tiene un silbato de esa forma ya elaborado, midiendo sus dimensiones se pueden conocer las frecuencias aproximadas que puede generar.
• Del análisis de la ecuación de Helmholtz se puede ver que, además del volumen, hay otros dos parámetros que pueden modificar la frecuencia. Si se aumenta s (área de la sección del hoyo), se incrementa la frecuencia y eso mismo se logra disminuyendo l' (longitud efectiva de la pestaña). s puede ser de uno o más hoyos. Como la posición de los hoyos no aparece en la ecuación, su localización no afecta la frecuencia.

Los que han analizado las fórmulas de Helmholtz comentan que son válidas para cualquier forma interna. En uno de los libros de acústica consultados [5] se menciona que la ecuación de los resonadores de Helmholtz se basa en los principios de los resonadores más simples con un grado de libertad, llamados elementos acústicos concentrados. Menciona que esa simplificación se puede hacer si la longitud de onda en el fluido es mucho mayor que todas las dimensiones del sistema resonador. Afirman que no existe ninguna suposición que restrinja la forma del resonador y que para una abertura dada (que nos sea muy grande), es el volumen de la cavidad y no su forma, lo que es importante. O sea, si la relación (S/(L´*V)) de la ecuación (1) se mantiene constante sus frecuencias son iguales, independientes de la forma interna. Los resonadores de Helmholtz tienen frecuencias de resonancia adicionales mayores que la que da la ecuación (1). El origen de esas frecuencias superiores es bastante diferente de la fundamental, ya que resultan de ondas estacionarias en la cavidad, más que el movimiento oscilatorio de la masa del fluido en el cuello. Las frecuencias superiores dependen de la forma de la cavidad y no están relacionadas armónicamente con la fundamental. En general, la frecuencia del primer sobretono es varias veces más grande que la frecuencia fundamental.

En pruebas realizadas con objetos de huecos esféricos naturales (bules, cuatecomates, etc) se ve que, con sólo cambiar la intensidad, forma e inclinación de la corriente de aire de excitación se puede producir una gama de sonidos de varios tonos. Esas variables de la fuente generadora de los sonidos de aerófonos operados por humanos no aparecen en ninguna de las formulas analizadas y utilizadas hasta ahora. En las pruebas de laboratorio conocidas han usado como excitador aire comprimido mecánicamente, para facilitar su análisis.

Ejercicio con otros aerófonos de sonidos complejos.

Se puede hacer un experimento para aplicar la ecuación (1) de Helmholtz a otro tipo de aerófonos de sonidos complejos. Se puede ver la viabilidad para poder aplicar esa ecuación a dos silbatos: uno triple (Figura 3), que llaman "de aguila" y otro transverso (Figura 4:

Fig. 3. Silbato triple

Fig. 4. Silbato transverso

Los datos obtenidos para ese último caso y los resultados de aplicar la ecuación de Helmholtz (2) se muestran en la Tabla 2. Los datos del primer renglón son sólo los de una cámara del silbato triple y los del segundo renglón son los del transverso operado sólo cerrado.

Tabla 2. Volumen frecuencia del silbato triple y el transverso.

El resultado del experimento anterior muestra que:

• Los dos aerófonos considerados, igual que en el caso de los silbatos globulares, generan frecuencias dentro de un rango, dependiendo de la potencia o velocidad del aire de excitación bucal.
• Las frecuencias calculadas de la ecuación de Helmholtz se encuentran entre los límites de los rangos de frecuencias medidas, cercanas a su nivel máximo. En el caso del silbato triple, como su cámara resonadora es esférica, no se aporta algo adicional. Pero en el caso del transverso sí se aporta algo, ya que se demuestra que la ecuación de Helmholtz también se aplica a cámaras resonadoras tubulares, cuando operan con notas musicales discretas simples.

Existe otra ecuación [5] que puede servir para estimar el factor de calidad del sonido Q de un resonador globular, en función a los mismos parámetros de la ecuación de Helmholtz:

Q = 2 * PI * RAIZ(V(l + 0.7*d) / s) ˆ3)                    (3)

Para dar una mejor idea de Q se pueden mencionar otros de sus significados. Q también es la agudeza de la resonancia de un resonador y se puede expresar como Q = w₀/(w₂ - w₁). Donde, w₂ y w₁ son las dos frecuencias angulares, arriba de la frecuencia de resonancia (w₀) para la cual la potencia relativa promedio ha caído a la mitad de su valor. Y la frecuencia de resonancia w₀ = 2 * Pi *f₀. Q se puede considerar también como la ganancia de un resonador que actúa como amplificador: Q = Pc/P. Donde, Pc es la amplitud de la presión acústica dentro de la cavidad y P es la amplitud de la presión excitadora externa.

Ray & Lee Dessy, expertos en flautas, publicaron recientemente un artículo [6] sobre las ocarinas (Clay pots that sings") en la revista American Recorder, lo que indica que ha venido surgiendo interés de los expertos en instrumentos musicales de viento sobre los aerófonos de barro adaptados a la música actual. El artículo describe el éxito que han tenido las ocarinas e incluye información relevante para el análisis de aerófonos globulares, como la siguiente:

Estimaciones del factor de calidad Q de resonadores globulares. Informa que las flautas típicas tiene un factor de calidad Q de 35-40 y que el experto John Coltman realizó experimentos con resonadores de Helmholtz experimentales, hechos con esferas flotadores de baño con hoyos de diferentes diámetros. Las pérdidas en la pared varia de acuerdo a las relaciones área/volumen y pueden ser ~10-15%. Los hoyos pequeños (~G3) con bajos niveles de sonidos tienen pérdidas altas por viscosidad (Q=26). A altos niveles de sonidos las perdidas por turbulencia son importantes (Q=11). Con hoyos grandes y (~G4) y niveles bajos de sonidos las pérdidas por radiación son significativas (~Q=45). Con altos niveles de sonidos Q baja. Comenta que si en una ocarina Q>5, es buena.

Incluyen una formula aplicable a las ocarinas (4):

F = (c/2*PI)* RAIZ [(d₁ + d₂ + d₃ + . . . d_n)/V]                                            (4)

Donde: D_n = Diámetro del hoyo n.

Otra formula similar (5) se proporciona en un libro de Bart Hopkin [7] adquirido recientemente, para estimar la fundamental F0 en el caso especial de resonadores globulares que tienen al menos un hoyo tonal circular, adicional al de la boca, como en el caso de las ocarinas:

F = (c/2*PI)* RAIZ [((a₁/t_e1) + (a₂/t_e2 + ....)/V]                                             (5)

Donde:

F = frecuencia de la nota a ser resonada
c = velocidad del sonido
V= volumen del resonador
a₁ = área de la boca del resonador y a₂, a₃, etc. son áreas de hoyos adicionales.
t_ei = longitudes efectivas de los hoyos= l + 0.75*d
d = diámetro del hoyo
l = longitud real del hoyo
PI= 3.1416

Resumen

Una conclusión del experimento es que las ecuaciones disponibles y analizadas se tienen que considerar como aproximaciones del comportamiento real de las frecuencias fundamentales de los artefactos sonoros Mexicanos más sencillos, cuando se operan por humanos.

Pero lo más relevante que se obtiene de los ejercicios realizados es que la ecuación de Helmholtz se puede aplicar a aerófonos cerrados no tubulares, para estimar la fundamental que pueden producir, como los silbatos y ocarinas e incluso para flautas cuando su diámetro es grande con relación a su longitud y cuando el diámetro del hoyo de salida es pequeño.

Otra conclusión relevante es que se prueba que sí es posible analizar los modelos matemáticos disponibles, si se elaboran los modelos físicos experimentales adecuados a ese propósito.

Sin embargo, queda por investigar la influencia que tienen las diversas formas de generar los sonidos y los valores mínimos y máximos funcionales de los parámetros de la ecuación de Helmholtz, así como de los casos que no se apegan a lo señalado por la ecuación o su teoría. Por ejemplo, la teoría indica que esos aerófonos resuenan a una solo frecuencia fundamental, sin armónicos o frecuencias superiores, pero se han visto casos en los que éstos si aparecen y otros en los que dejan de hablar.

También es conveniente analizar los sonidos en el espacio de sus componentes de frecuencias, ya que la F0 no representa toda la información de los sonidos generados. Una de las formas es utilizando espectrogramas, como por ejemplo para analizar el comportamiento en el espacio de las frecuencias de los sonidos de los dos silbatos analizados en todos sus modos.

Ya se hicieron ejercicios similares con otros silbatos antiguos mexicanos [8, 9 y 10] en los que se aplica la formula de Helmholtz. Barry Hall dice que las trompetas globulares (11) y algunos tubos también se comportan como resonadores de Helmholtz.

Helmholtz utilizó en sus experimentos de "nueva psicología" resonadores de latón como los que se muestran en un museo [12] de Toronto. Y hay varias páginas con la explicación de los resonadores de Helmholtz y su ecuación (13)

Bibliografia

1. Helmholtz, H. von, "On The Sensations of Tones," Translated by Alexander Ellis, Dover Publications, 1954. (Ed. 1, 1912).
2. Velázquez- Cabrera R. "Estudio de aerófonos mexicanos usando técnicas artesanales y computacionales". Tesis de maestría en Computación, 2002.
3. Garret, S. and Statnekov D. K., "Peruvian Whistling Bottles", The Journal of Acoustical Society of America, Vol. 62, No. 2, August, 1977. (http://www.statnekov.com/peruwhistles/jasa.html).
4. Castañeda, Daniel. "Las Flautas en la Civilizaciones Azteca y Tarasca. I. Civilización Azteca". "Música" Revista Mexicana, S. A. Editora de Música Revista Mexicana, No. 8. 15 de Noviembre de 1930.
5. Kinsler, L. E. y otros, "Fundamentos de acústica", Limusa, 1995,
6. Dessy, Ray & Lee. "The clay pot that sings". American Recorder. March 2009.(http://www.songbirdocarina.com/claypot.pdf)
7. Hopkin, Bart. "Air Columns and Tone Holes" Published by Thai Hei Shakuhachi, Hei, 1999. (http://www.sakuhachi.com)
8. Sánchez-Santiago, Gonzalo y Velázquez-Cabrera, Roberto. "Silbatos Zapotecos" (http://www.tlapitzalli.com/gsxichipilli/index.html).
9. Velázquez-Cabrera, Roberto. "Análisis Virtual de Silbatos Mayas". (http://www.tlapitzalli.com/rvelaz.geo/smayas1.html)
10. Mendoza-González, Ángel y Velázquez-Cabrera, Roberto. “Un Silbato Mixteco Roto de Barro".(http://www.tlapitzalli.com/nican/mixteco.html)
11. Hall, Barry. Trompetas globulares (http://www.ninestones.com/burntearth/articles/globarticle/)
12. Resonadores de Helmholtz de latón de la U. de Toronto. (http://www.psych.utoronto.ca/museum/helmholtz.htm)
13. Science. Physics. University of South Wales Australia. "Helmholtz Resonance" (http://www.phys.unsw.edu.au/~jw/Helmholtz.html)