Modelos de Aerófonos Mexicanos
El caso de los silbatos


Figura 1. Silbato-tortuga. Una joya cantadora de plata mexicana.

Roberto Velázquez Cabrera
Instituto Virtual de Investigación Tlapitzcalzin

Primera versión, 1 de febrero de 2004. Ultima versión, 24 de abril de 2004.

Conferencia para el el Seminario de Estudiantes de maestría y doctorado en matemáticas en el Auditorio José Adem del Centro de Investigación y Estudios Avanzados (CINVESTAV), a invitación del Dr. Onésimo Hernández Lerma. 21 de mayo de 2004.
(Poster)

RESUMEN
Se presentan modelos físicos y matemáticos del caso más antiguo, sencillo y numeroso de aerófonos mexicanos antiguos rescatados, los llamados silbatos; herramientas técnicas para su análisis, los estudios avanzados realizados en el exterior, algunos silbatos antiguos analizados y; retos matemáticos para el modelado formal detallado de los silbatos mexicanos que operan con mecanismos sonoros especiales y producen sonidos complejos como de animales y los que generan caos y ruido de uso desconocido.

Introducción y antecedentes

Se considera importante impartir esta plática a estudiantes de matemáticas porque su especialidad les permite comprender bien todo tipo de modelos como los de los aerófonos y su posible participación podría ayudar a mejorar los métodos formales de análisis en este nuevo, inexplorado y hermoso campo mexicano de investigación. La intención de esta conferencia es dar a conocer a estudiantes avanzados de matemáticas el estado del arte en este campo, para ver si surge algún interés en su investigación. Para ayudar a contrarrestar la falta de conocimiento en el tema, se han impartido conferencias a otros especialistas relacionados como los de algunos centros educativos en computación, acústica, física y etnomusicología y hasta en literatura.

Desde el siglo XVI las políticas y programas no han servido para apoyar el desarrollo de los pueblos naturales de nuestro continente, ni su cultura y tecnología, han sido impuestos para beneficiar principalmente a una minoria de la élite y a algunos criollos así como para fomentar el saqueo del patrimonio nacional y la dependencia del exterior. Desde principios del siglo pasado se han usado métodos científicos para analizar instrumentos musicales, pero no han sido aprovechados para estudiar la rica y singular organología del México Antiguo que ha sido destruida, prohibida, proscrita, sustituida y olvidada desde hace cinco siglos, como resultado de la conquista, la colonización, la dependencia, el racismo, el malinchismo, la ignorancia y la pereza, a pesar de la independencia y la revolución y el ordenamiento expreso de nuestras leyes para investigar y divulgar las culturas prehispánicas e indígenas.

Los instrumentos musicales perfeccionados en Europa y sus sonidos han sido estudiados con profundidad y desde diversos puntos de vista como los de física, matemática, acústica, psicología, inteligencia artificial, etc., pero el rico espacio organológico-sonoro antiguo que existía en el México prehispánico y en otras regiones como la zona Andina, no ha sido explorado con el mismo rigor.

Algunos artefactos sonoros antiguos han sido analizados por arqueólogos, etnomusicólogos, musicólogos y músicos, pero son muy pocos los que se han analizado con profundidad desde el punto de vista técnico científico o de la ingeniería. Es un gran hueco de desconocimiento que se origina, en parte, porque los técnicos y científicos no se han interesado en estudiar formalmente los artefactos sonoros mexicanos y los humanistas especialistas en nuestra cultura antigua no disponen del conocimiento y herramientas técnicas formales requeridas y porque el análisis profundo de la organología antigua no se ha incluido en los programas de las instituciones educativas. La especialización de la educación y al investigación actuales dificulta los análisis interdisciplinarios requeridos, pero la mayor limitante es que nadie conoce bien toda la organología antigua que ha sido recuperada.

Por ejemplo, la investigación sobre la organología maya recuperada apenas empieza. En Guatemala, realizaron un estudio de voces mayas del museo del Popol Vuh, pero sus resultados aun no se publican.

Un caso ilustrativo: Silbatos mayas.

El único estudio dado a conocer en la literatura nacional oficial sobre un grupo importante de instrumentos mayas es sobre silbatos principalmente de la Isla de Jaina. Incluye algunos datos organológicos acerca de los silbatos que dan una buena idea de sus dimensiones y formas estructurales, pero el análisis no es útil para estudiar los artefactos sonoros antiguos, porque tienen varias limitaciones y errores metodológicos básicos, los cuales fueron comentados en detalle en un estudio previo Análisis Virtual de Silbatos Mayas, disponible abiertamente. El caso es interesante, ya que muestra el estado de conocimiento de los investigadores que tuvieron acceso directo a esos silbatos. El documento incluye datos resultantes de un análisis de tono-volumen interno de los silbatos, para tratar de ajustarlos a una función matemática o gráfica de comportamiento. El análisis acústico de los silbatos es muy pertinente, porque la función sustantiva de cualquier aerófono es producir sonidos, pero es una pena que ese ejercicio no se pueda aprovechar.

El resultado de las mediciones de los sonidos incluye conjuntos de valores de volumen de los silbatos que dan el mismo tono. Ese resultado indica que no se seleccionaron los parámetros adecuados de acuerdo al conjunto de silbatos considerados, ya que son muy heterogéneos en sus formas y dimensiones. Los tonos se registraron con el número de la tecla de un piano!, en lugar de medir los ciclos/segundo o Hz..

El principal error de criterio matemático fue el de tratar de ajustar una función de muy alto grado a la serie de puntos tono-volumen de los silbatos, misma que se muestra en la Gráfica 2 del estudio de referencia, con cerca de 13 máximos y mínimos) pero no se proporciona su descripción algebraica. Se sabe que esa función acústica debe ser una de segundo grado, logarítmica, hiperbólica o exponencial decreciente, si se considera la ecuación conocida de resonadores tubulares (de Bernoulli) y los datos mostrados en la Gráfica 2. Ese error indica que no se supieron aplicar bien las técnicas elementales de análisis numérico para ajuste de curvas o de funciones matemáticas.

No se tomó en cuenta el modelo matemático del investigador alemán H. von Helmholtz aplicado a resonadores globulares (mismo que se muestra posteriormente) y que considera, además del volumen del resonador y otros factores, la geometría y dimensiones del hoyo de la boca, para estimar las frecuencias fundamentales. El modelo de Helmholtz puede servir para el análisis acústico de algunos aerófonos antiguos, debido a que se puede aplicar a las formas globulares de ocarinas y silbatos como muchos de los Mayas. No se puede argumentar que los estudios de Helmholtz eran secretos, ya que fueron publicados a principio del siglo pasado. Esa ecuación se describe en los libros elementales que se utilizan en los cursos de acústica que se imparten en las escuelas de ingeniería de nuestro país.

Para mostrar con claridad como se pueden hacer mejores análisis, se hará un ejercicio con los 172 datos de tono y volumen de los silbatos Mayas sin hoyos incluidos en su Cuadro IV: Primero, se transforman los datos de las teclas del piano y notas musicales a valores de Hz, con las correcciones debidas y con la ayuda de una tabla de equivalencias. En el documento las notas están corridas con relación a la norma más aceptada en el ámbito internacional para el diapasón musical L4 o A4 = 440 HZ, ya que está puesto como La5. Se incluyen las notas musicales para que los músicos vean la equivalencia. Segundo, con una hoja de cálculo y una computadora personal se capturan y reordenan los pares de datos de la serie, considerando el volumen (ml) como X y la Y como las frecuencias (Hz). Tercero, se obtiene una gráfica de los datos frecuencia-volumen de los datos de los silbatos sin hoyos. En ella se puede ver que en la parte media de la curva hay dispersiones significativas en los valores, originados porque no se consideraron los parámetros adecuados ni los valores de las notas en cents o en HZ. La imagen de la dispersión de los datos se distorsionó y amplificó mucho en la Gráfica 2, porque se compactó el eje de los tonos en sus extremos. Cuarto, con los mismos datos se puede realizar un ejercicio para ajustarlos a una función analítica adecuada, por ejemplo a una exponencial. La función 1 y los parámetros ajustados por el método de mínimos cuadrados y algunas medidas del ajuste, obtenidos con un buen programa para computadora, son:

y = a*x^b (1)

Parámetros ajustados:
a = 2642.4867 y b = - 0.40115241

Donde, y es la frecuencia (Hz) y x es el volumen (ml), error estándar del ajuste = 84.4 y precisión de los cálculos del ajuste = 8 dígitos exactos de la mantisa.

A pesar de las limiatantes de datos, el ejercicio anterior es relevante, ya que la ecuación resultante constituye la primer representación o modelo matemático de un conjunto importante de silbatos antiguos. Hay que señalar que los parámetros de la ecuación 1 son el resultado de minimizar la suma de los cuadrados de los errores entre la función y los datos. El error del ajuste es significativo, para silbatos específicos pero no mucho con relación a los valores mayores de la función, lo que significa que puede representar bien la tendencia general de comportamiento de los datos, pero no debe ser usada para interpolar o extrapolar con precisión la frecuencia del volumen dado de un silbato.

El ajuste de curvas se puede usar en otros casos, cuando se tengan mayores datos de grupos de silbatos o para fines de interpolación aproximada, como se hizo en el Análisis Virtual de la Tlapitzalzintli (flautita) Mexica 130, para obtener el polinomio 2 con la frecuencia y (KHz) en función de la distancia x (mm) de sus hoyos tonales:

y=a*x^2+b*x+c (2)

Parámetros ajustados:
a=0.001276
b=-0.1811
c=8.842

Los silbatos antiguos.

Se han escuchado opiniones que muestran menosprecio por los estudios virtuales o indirectos que usan réplicas sonoras experimentales, pero los artefactos antiguos no son accesible para ser estudiados directamente fuera de sus lugares de resguardo como en laboratorios de metrolología y la información que existe sobre ellos es muy escasa. En ese contexto, el estudio con modelos físicos experimentales y matemáticos es la mejor alternativa, porque es la única posibilidad para el análisis formal de artefactos sonoros antiguos conocidos. Ni siquiera ha sido posible consultar las cédula con sus datos básicos, porque se consideran confidenciales!. Incluso, se dice que es imposible obtener algo relevante de su análisis directo, porque no se puede saber como se tocaban exactamente en el pasado. El resultado es que no se ha explorado formalmente ese campo sonoro. Los métodos de análisis de las culturas antiguas contemplan el pasado en silencio, como si nuestros antepasados y nosotros mismos fuéramos sordos, pero no es posible imaginar ninguna de sus actividades importantes en silencio, ya que siempre utilizaban sus sonidos.

Los artefactos sonoros eran considerados sagrados y fueron muy usados y apreciados a todos los niveles en las sociedades antiguas, tanto religiosas, como militares y civiles, por las élites y por la gente más modesta, en las grandes centros ceremoniales y en las pequeñas comunidades más remotas, pero las últimas instituciones y los grandes maestros que se interesaron en la organología mexicana fueron destruidos durante la gran masacre de hace cinco siglos. Ni un sólo peso, de los cientos de miles de millones de pesos que se han destinado a los programas de investigación y desorrallo en el país en los últimos decenios, se ha destinado al estudio profundo de la singular y rica rama tecnológica-cultural de la organología mexicana antigua.

Esta plática se centra en los aerófonos que se consideran más sencillos, antiguos y numerosos encontrados en condiciones operables: los llamados silbatos. Por definición, los silbatos son instrumentos que producen un sólo sonido. Desde el punto de vista musical, se consideran los más simples, porque dicen que producen sólo una nota cuando no tienen obturadores tonales. Según las clasificaciones organológicas existentes, sólo hay dos tipos de silbatos: sin hoyos tonales y con hoyos tonales. Algunos los desprecian, porque los consideran juguetes, ya que así se usaban en las culturas medievales de Europa. La realidad indica que los silbatos mesoamericanos son más complejos de lo que se piensa, existían en una gran variedad y diversidad y tenían muchos otros usos.

El silbato de plata de la Figura 1, es de los más sencillos con aeróducto. Fue inspirado en uno Purepecha de oro, pero las copias de tortugas y otros animales cantadores existían en todas las culturas antiguas de México y eran apreciadas y veneradas como sus modelos biológicos de la realidad. Aun esos sencillos silbatos guardan muchos secretos por descubrir. Por ejemplo, aun no se sabe con certeza cómo podían formar la cavidad del resonador con la técnica de la cera perdida, si el silbato se hacía en una sola pieza de metal fundido. Los orfebres de ahora ya no los saben hacen y la demanda no existe. Mejor que cualquier testimonio de la literatura conocida, los modelos experimentales pueden servir para hacer estudios indirectos de los aerófonos antiguos y el aprender a construirlos puede ayudar a comprender mejor las técnicas de los antiguos maestros.

Una forma eficiente de generar ondas de presión vibratorias en las moleculas del aire es dirigiendo un chorro de aire laminar contra un bisel afilado en la cercanía de una cavidad resonadora, tal como sucede en diversos aerófonos de pico como silbatos, ocarinas y flautas antiguas y modernas. Ver pintura de la Figura 2 que ilustra la dinámica de las ondas con vírgulas mexicanas antiguas.


Figura 2. El nacimiento del canto de un silbato de pico.

Para el análisis, existen cuatro grupos de casos posibles de silbatos y sus modelos: A) silbatos antiguos completos; B) silbatos antiguos incompletos; C) modelos físicos, copias o réplicas y; D) modelos matemáticos. Los casos A y B son similares y corresponden a los miles de silbatos que existen. Muchos de ellos no se pueden analizar, porque aun no han sido descubiertos y están enterrados en tumbas, entierros, ofrendas, etc. Los miles que han sido recuperados están en vitrinas o arrumbados en bodegas de museos, colecciones, exploraciones, mismos que en su gran mayoría tampoco han sido analizados formalmente y con profundidad, por la falta de interés y capacidad de los que los tienen o los pueden analizar directamente. Los casos C se refieren a las pocas copias que aun hacen algunos artesanos y los modelos experimentales que se han hecho y pueden hacer de silbatos antiguos conocidos, porque éstos han sido dados a conocer en museos o en la literatura. Sin embargo, no existen copias exactas, porque no se han dado a conocer las características y atributos arganológicos y acústicos (dimensiones, radiografías, sonidos, etc) de los artefactos sonoros que permitan reproducirlos con precisión. En ese grupo se encuentra la mayoría de los silbatos modernos, ya que casi todos sólo son copias mejoradas o industrializadas de silbatos antiguos. Los modelos experimentales tienen varias ventajas. Se pueden llevar fácilmente a laboratorios para propósitos de metrología sonora o acústica y a espacios o lugares donde se pudieron usar en el pasado, para analizar su comportamiento como en sitios arqueológicos, cuevas, grutas, etc. También se pueden modificar para analizar hipótesis y ser expuestos y tocados sin ningún riesgo para sus modelos antiguos. Los casos D y C pueden ser analizados cuando se dispone de la información descriptiva suficiente y existan los modelos matemáticos que los puedan representar. Las matemáticas pueden ayudar en los análisis de los cuatro grupos de casos.

Los silbatos se consideran muy simples, pero para su análisis formal y detallado son complejos, aun los más sencillos y comunes. Es necesario entenderlos en sus formas más sencillas, si se quiere comprender el funcionamiento de otros silbatos y aerófonos más complicados. En la Figura 2 se muestra un esquema con los principales elementos y factores físicos de un silbato de pico, tanto de su entrada y salida, así como de su propio sistema interno y de funcionamiento. Esos elementos del esquema dan una idea de las técnicas y modelos requeridos para su análisis.


Figura 3. Elementos y factores físicos de un silbato de pico.

La excitación de entrada del silbato de pico se puede hacer por medio de una corriente de aire, proveniente de los pulmones de un ser humano, la naturaleza o una máquina. La corriente de aire puede tener varias formas: simple o compleja, continua o discontinua, constante o variable en el tiempo. Su potencia puede variar en función de la presión neumática (kPa o cm de agua en un tubo en U) y el gasto del aire (cm3/s). Una forma compleja de excitación es combinar una corriente de aire con vibraciones generadas por la garganta o ruido formado en el tracto vocal. La salida se da en forma de ondas de presión de las moléculas del aire que se pueden percibir en el oído como sonido o ruido, cuando sus frecuencias se dan en el rango audible (20 Hz - 20 KHz), pero el cuerpo puede sentir las ondas de menor frecuencia a 20 Hz o infrasónicas. Sus variables principales son: fundamental F0 (Hz), armónicos Fn (hz), sobretonos, factor de calidad del sonido Q, timbre, componentes espectrales (espectrograma), presión sonora (dB), potencia acústica radiada (Watts), alcance (m) y patrón de radiación (x, y, z). cada uno de esos parámetros puede dar indicios sobre sus características acústicas y su posible uso original. El silbato puede variar en tipo, forma, estructura, dimensiones, material, mecanismo sonoro, componentes, superficie, impedancia y eficiencia. Las variaciones de cada componente organológico como su aeróducto, boca, bisel, resonador, hoyos tonales, puede afectar los sonidos producidos. Los sonidos pueden generar varios efectos y tener diversos usos.

Los silbatos han sido importantes, debido a su poco peso y tamaño, su portabilidad, su alta potencia percibida y su alcance sonoro (300 m-500 m) por la altura de sus sonidos, ya que la mayoría generan señales con frecuencias fundamentales F0 dentro del rango de máxima sensibilidad humana y de varios animales como los pájaros (1-5 KHz). Por ello, los silbatos son excelentes para aplicaciones de comunicaciones y señales y en áreas de militares, deportes, vigilancia, cazadores, control de animales, etc., además de la música, danza y teatro antiguos. Los silbatos son indispensables para transmitir señales cuando deben ser ligeros y portátiles, en dónde no hay posibilidad de usar fuentes de energía no naturales como la eléctrica o cuando no se puede instrumentar otro tipo de comunicaciones en clave como las luminosas o con banderas. Incluso, todos los aerófonos musicales (como las flautas y órganos) funcionan como silbatos cuando generan cada una de sus notas. En la antigüedad, también se usaron en ceremonias y ritos y para propósitos de salud, chamanismo, magia, etc.

Los silbatos pueden generar efectos y usos importantes no muy conocidos. Por ejemplo, un silbato grande puede generar sonidos dañinos, incluso mortales (ver "The infrasonic Weapon of Vladimir Gavreau"), si éstos son planos y tienen su F0 abajo de 20 Hz, pero si se producen con F0 en forma aleatoria o como batimentos infrasónicos pueden tener efectos positivos en la salud física y mental de las personas que los perciben, aunque no se escuchen. Los efectos en los seres humanos de los sonidos infrasónicos tampoco son muy conocidos en la literatura científica abierta, porque los gobiernos que los usan con fines militares, los han restringido como sucede con otras tecnologías que sirven para fabricar armas muy destructivas como la nuclear y los cohetes o lanzadores.

En otro estudio se muestra una introducción mas detallada a los Cantadores Mexicanos de Barro con sus principales mecanismos sonoros y su posible evolución histórica. Aquí sólo se proporciona una introducción general.

Desde el punto de vista de su origen, se cree que los primeros silbatos fueron globulares con un sólo hoyo sonoro. Los más antiguos pudieron ser hechos con objetos naturales huecos como los de cáscara dura de frutas o semillas (nueces, guajes, etc.) y otros materiales disponibles como huesos, caracoles, conchas, etc., con un hoyo para generar sonidos con la insuflación humana directa, tal como se puede hacer con una botella e vidrio. Es probable que los primeros silbatos elementales surgieron hace varios cientos de miles de años. Silbatos similares se pudieron hacer en barro. Se cree que el barro surgió en África hace cerca de 200,000 años.

La probable evolución de los silbatos elementales a los silbatos de embocadura con aeroducto pudo durar cientos de miles de años. En México, se estima que los primeros silbatos con aeroducto surgieron hace 10,000 o 30,000 años. La mayoría de los silbatos antiguos rescatados son de barro. La mejor manera de mostrar la estructura de los aerófonos es usando modelos diseccionados sin adornos externos, para poder ver su diseño sonoro interior.

Se han encontrado silbatos con diversos mecanismos sonoros. Algunos de ellos tenían más de una cámara resonadora.

Los silbatos se desarrollaron en diversas formas organológicas. Algunos se muestran como aves y muchas otras formas y diseños.

Principales modelos matemáticos existentes.

Existen algunas ecuaciones para analizar o diseñar silbatos, pero aun no se producen los modelos matemáticos que describan con exactitud su comportamiento completo y exacto, sobre todo, en las formas complejas de operación y considerando todos sus parámetros acústicos. Los silbatos tubulares han sido analizados desde que empezaron a ser estudiados los instrumentos musicales. Como lo que se escribe y se toca en las melodías de los pentagramas es la altura de los sonidos o su fundamental (F0), esa variable es la que más les ha interesado estimar de los instrumentos musicales. Uno de los primeros modelos matemáticos aplicados a tubos resonadores abiertos fue de Johann I. Bernoulli (1667-1748), con la siguiente ecuación 3 para estimar la F0:

F0 = c / 2*L (3).

Donde:
F0 = El número de vibraciones (ciclos/seg o Hz).
c = velocidad del sonido en el aire.
L = longitud del resonador tubular y debe contarse desde el punto donde el aire se corta hasta la extremidad del tubo que se considera.

La ecuación 3 fue usada por primera vez en México por el Ingeniero Daniel Castañeda en 1930, para analizar unas flautas mexicas y puréperchas como la Tlapizalzintli mexica 130, pero con una corrección de Bonuasse (1929) a la longitud del tubo L = L + L´ = L + 0.6*d. Sustituyendo esa corrección y tomando a c = 340 metros por segundo en la fórmula 1 de Bernoulli, queda la ecuación (4):

F0=170/(L+0.6*d) (4)

Donde:
F0 = Frecuencia, en ciclos/seg;
L = Longitud (desde la salida del aeroducto hasta el hoyo), en metros;
d = Diámetro interno del tubo, en metros;
0.6= es un factor de corrección y;
170 = 340 (velocidad del sonido en el aire) /2. Para tubos cerrados es /4.

Como las ecuaciones 1 y 2 sólo consideran la longitud y diámetro del tubo, no incluyen los efectos de los demás elementos organológicos y funcionales como el aeroducto, boca, bisel y la forma de soplar el aire. En la realidad hasta la temperatura del aire afecta la altura de los sonidos. En la actualidad, hay diversas ecuaciones que se han aplicado a aerófonos tubulares musicales, pero hay muy pocos modelos aplicables a los aerofonos globulares, que constituyen la mayoría de los silbatos antiguos.

La ecuación 5 de Herman Ludwing Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) es uno de los pocos modelos matemáticos conocidos que se pueden aplicar a modelos de aerófonos globulares (que no se incluyen en la música moderna) para estimar aproximadamente la F0, en su forma de operación más sencilla de acústica pasiva.

F0 = (c/(2* pi))(S/(L'* V))ˆ1/2, (5)

Donde:

F0 = Frecuencia F0, en ciclos/seg.
S=1/4 pi d2 =Sección del hoyo sonoro
d= Diámetro promedio del hoyo sonoro
V= Volumen de la cavidad del silbato
c= Velocidad del sonido en el aire
L'= L+0.7*d = Longitud de la pestaña corregida o grueso del silbato

La ecuación 5 fue aplicada por primera vez a aerófonos antiguos, por Steven Garrett y Daniel Statnekov a un grupo de Vasos Silbadores del Perú. Es interesante mencionar que ese estudio es el único sobre artefactos de viento Precolombinos, que se ha publicado en la Revista de la Sociedad Acústica de América (JASA), desde el año de 1929.

La ecuación 6 similar se puede usar para estimar el valor del factor de calidad del sonido Q.

Q = 2 * PI * ((V*(L + 0.7*d) / s) ˆ3) ˆ1/2 (6)

Para dar una mejor idea de Q se pueden mencionar otros de sus significados. Q también es la agudeza de la resonancia de un resonador y se puede expresar como Q = w0/(w2 - w1). Donde, w2 y w1 son las dos frecuencias angulares, arriba de la frecuencia de resonancia (w0) para la cual la potencia relativa promedio ha caído a la mitad de su valor. Y la frecuencia de resonancia w0 = 2 * Pi *f0. Q se puede considerar también como la ganancia de un resonador que actúa como amplificador: Q = Pc/P. Donde, Pc es la amplitud de la presión acústica dentro de la cavidad y P es la amplitud de la presión excitadora externa.

Ray y Lee Dessy, expertos en flautas, publicaron recientemente un artículo sobre las ocarinas "Clay pots that sings" en la revista American Recorder. Incluyeron una formula aplicable a resonadores globulares que tienen al menos un hoyo tonal circular, adicional al de la boca como las ocarinas (7):

F0 = (c/2*PI)* [(d1 + d2 + d3 + . . . dn)/V] ˆ1/2 (7)

Donde:
dn = Diámetro del hoyo n.

Otra formula se proporciona en un libro de Bart Hopkin "Air Columns And Toneholes" para estimar la fundamental F0 de las ocarinas:

F0 = (c/2*PI)* [(L/(a1/te1 + a2/te2 + ....)/V) ˆ1/2 (8)

Donde:
a1 = área de la boca del resonador y a2, a3, etc. son áreas de hoyos adicionales.
tei = longitudes efectivas de los hoyos =Ll + 0.75*d
L = longitud real del hoyo
d = diámetro del hoyo
PI= 3.1416

Trompetas

Una gran subfamilia de silbatos tubulares antiguos, son los que funcionan con una lengüeta de caña, hojas, etc. Uno grupo importante de ellos son las trompetas o cornetas, mismas que operan con las lengüeta de los labios como las trompetas mayas de Bonampak. El profesor australiano Neville Fletcher, experto en física de instrumentos musicales, publicó una ecuación que aplicó al didjeridu para estimar la Fn en acústica pasiva y que puede ser aplicada a otras trompetas antiguas similares como las de los mayas:


Ecuación del Dr. Neville Fletcher aplicada al didjeridoo y a las trompetas mayas.

Las trompetas antiguas, sin hoyos tonales, pueden producir diversos sonidos, algunos de ellos muy complejos como los que parecen de animales o de la naturaleza, así como bifónicos y de la garganta. El estudio virtual de las trompetas del mural de Bonampak, muestra con claridad la importancia de los modelos físicos y matemáticos, ya que permitieron analizarlos aun cuando esas trompetas desaparecieron de este mundo hace más de un milenio y ahora sólo aparecen representadas en la iconografía antigua.

A pesar de la antigüedad de los aerófonos, hasta hace poco se empezaron analizar con profundidad para conocer los detalles del funcionamiento de su mecanismo sonoro. Existen algunos análisis avanzado de silbatos musicales. Por ejemplo, en los últimos años han surgido estudios importantes para empezar a conocer la dinámica de las ondas producidas por silbatos tubulares con aeroducto (de flautas y órganos). Un enfoque es simular su operación con computadoras en paralelo y ecuaciones diferenciales parciales, de Navier Stokes, como el de una tesis doctoral (Panayotis A. Skordos, MIT) que tardó tres días de proceso para obtener imágenes de la generación del sonido durante varios milisegundos. Otro enfoque es analizar el comportamiento en tiempo real con ayuda de humo y fotos como el realizado en el Laboratorio de Dinámica de Fluidos de la Universidad de Tecnología de Eindhoven (Hirschberg). El espacio considerado en la simulación en computadoras y la visulización con humo se reduce a la cercanía del mecanimo que genera las ondas vibratorias y los sonidos, aunque en la realidad éstas se propagan cientos de metros. Es interesante observar que las imágenes de las ondas producidas en esos estudios son similares a las de las vírgulas o volutas usadas en el México Antiguo, para representar esos mismos fenómenos sonoros (Figura 2).

Otros ejercicios de visualización de la generación del sonido en tubos de órgano se han hecho en otros centros de investigación avanzada como los que han usado un "anemómetros doppler de laser" en Alemania.

Otras ecuaciones y herramientas.

En acústica existen ecuaciones sencillas que pueden ser útiles para analizar atributos de aerófonos. Por ejemplo, para estimar la potencia acústica radiada máxima, con el uso de un sonómetro, se pueden usar las dos ecuaciones 9 y 10 siguientes:

I = + (10 ^-12) * 10 ^ (dB/10)             (9)
W = 4 * PI() * I                                      (10)

Donde,
I = intensidad del sonido (W/m2)
dB = presión sonora medida con un sonómetro (dB) a un metro y 0 grados
PI = 3.1416....
W = potencia acústica radiada (Watts)

Una de las mejores herramientas matemáticas para analizar las componentes de frecuencia de una señal compleja es la Transformada Rápida de Fourier aplicada para dibujar espectros cuando la señal digital es estacionaria o espectrogramas si es compleja o cambia en el tiempo. Estas técnicas se han usado desde la Segunda Guerra Mundial. Ahora, se usan para analizar diversas señales complejas como las de la voz, de animales y de fenómenos de la naturaleza. Los espectrogramas son adecuados para analizar los sonidos complejos de los artefactos sonoros antiguos. Se utilizaran al final de la conferencia para mostrar en vivo los componentes espectrales de algunos sonidos antiguos complejos.

Silabatos complejos

Hay una gran variedad de silbatos cuyo comportamiento sonoro no es simple ni sencillo de analizar o modelar matemáticamente. Algunos de ellos ya se han empezado a estudiar y se pueden mostrar como ejemplos. Unos producen sonidos parecidos a los de animales como las Ranas de Barro de Yaxchilán., tecolotes como los Silbatos Zapotecos., venados como la Gamitadera., etc.

Hay Pájaros Cantadores de Barro. que pueden producir microtonalidades o cambios continuos de altura dentro de un gran rango de frecuencias fundamentales (F0) hasta de una octava, por medio de grandes hoyos tonales. Esos estraordinarios aerófonos cantadores (y las Ranas de Barro de Yaxchilán) se han encontrado, por investigadores de la Dirección de Estudios Arqueológicos del INAH, desde el sureste de mesomérica en la la zona maya de Rancho Ina, Xcaret, Quintana Roo hasta el extremo norte en la zona de los serranos de Ranas, Querétaro.

Otros aerófonos tubulares sin hoyos tonales pueden producir microtonalidades como la llamada Flauta de émbolo.

Una rama importante es la de los Silbatos múltiples. Son la evidencia más clara de que en la antigüedad se tocaban varios silbatos al mismo tiempo. Son de alta sonoridad y pueden producir batimentos infrasónicos con efectos físicos y metales especiales en el ser humano si se tocan en un grupo en un campo cercano o cerrado.

Hay silbatos y flautas con membrana que pueden producir sonidos complejos, que parecen de felinos y otros animales desconocidos del inframundo o de otro mundo.

El ruido era muy apreciado en las culturas antiguas, ya que diseñaban diversos dispositivos para su generación con toda intención como las flautas con boca sonora enmarcada.

Un caso extraordinario: Ehecachichtli

Precisamente, una de las subfamilias organológicas consideradas más mesomaricanas, porque en sus formas complejas no se han encontrado en otras culturas antigus del mundo, es la de los generadores de caos y ruido, cuyo corazón sonoro hemos denominado como Ehecachichtli bucal en honor al dios del viento. Se han empezado a analizar los principales tipos de los generadores de ruido conocidos como el Ehecachichtli con aeroducto o silbato de aire, el Ehecachichtli con aeroducto tubular y tubo resonador abierto la Gamitadera y otros más. A pesar de que esos generadores de ruido constituyen un árbol organológico singular en la historia de la humanidad, su uso original exacto se desconoce.

El alma o corazón sonoro del Ehecachichtli es muy sencillo en sus estructura. Por ello, puede ser hecho modelos experimentales en muchos materiales incluyendo piedras semipreciosas (Figura 5).


Figura 5. Extraordinaria joya sonora en ópalo rosa de Jalisco.

El Ehecachichtli bucal se usó en algunas culturas antiguas de México, como el aerófono Olmeca de ilemenita (oxido de fierro y titanio) y magnetita, de hace más de 3000 años, que fue encontrado en grandes cantidades (~ 4.5 toneladas o ~ 140,000 artefactos multiperforados) en San Lorenzo, Veracruz y del que no se conocían sus propiedades sonoras en la literatura arqueológica.

Sin embargo, comprender bien el funcionamiento detallado de la dinámica que genera cada miembro de la subfamilia del Ehecachichtli es una tarea de futuro, misma que se estima difícil, ya que por las variables y procesos requeridos en sus modelos no se pueden analizar fácilmente con la tecnología disponible en la actualidad. Sus variables y procesos involucrados se muestran con negritas en el extremo derecho de la siguiente lista:

VARIABLES-PROCESOS

Una-Varias
Lineales-Lineales
Estáticas-Dinámicas
Determinísticas-Aleatorias
Espacio grande-Espacio pequeño
Frecuencias bajas-Frecuencias altas
Modelo sencillo-Modelo Complejo
Poco cálculo-Mucho cálculo

Si las variables anteriores se asocian a un sistema de ejes, el espacio de los modelos requeridos para analizar la dinámica del Ehecachichtli se sitúan en la zona de la esquina del hipercubo más alejada del origen, o sea el espacio de los modelos más difíciles y complejos, ya que en ese caso tienen varias variables, no lineales, dinámicas, aleatorias, en un espacio pequeño (delta x, y, z pequeñas o grandes retículas), frecuencias de banda ancha, incluyendo casi todo el rango audible (delta t pequeña para poder ver las señales). Esos modelos requieren de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales estocásticas, con el consecuente procesamiento de mucho cálculo y seguramente inestable, con número de Reinolds alto. El modelo de esos sistemas aun no se han analizado o resuelto y pertenece a varios campos avanzados de la investigación de punta como la visualización científica de sistemas turbulentos o caóticos complejos.

Aerófono del dios L de Palenque?

No se han encontrado laboratorios y expertos interesados en realizar experimentos avanzados en tiempo real sobre dinámica de fluidos de aerófonos mexicanos. Sin embargo, ha sido posible realizar experimentos en algunos casos especiales de aerófonos para analizar hipótesis sobre ellos. Por ejemplo, se analizó el posible aerófono que tiene en la boca el dios L de Palenque (Figura 6).


Figura 6. Foto del dibujo del bajo-relieve de la puerta del altar del Templo de la Cruz de Palenque." El dibujo del Tomo I de "México a Través de los Siglos" (1953) de Alfredo Chavero, es en blanco y negro. Se agregaron colores con Photoshop para destacar los objetos bajo análisis. Parece que el dibujo original es de Stephens y Catherwood (1842).

Expertos en la iconografía de la cultura maya dicen que ese objeto es un puro, pero no se han encontrado evidencias sólidas para apoyar esa afirmación y la dinámica del humo de un puro no es como se muestra en la Figura 6, ya que éste se eleva porque está mayor temperatura que el aire cercano. (ver Figura 7) Además, si el objeto fuera un puro encendido, los dedos del dios L se quemarían y se ve que las volutas salen del interior del tubo.


Figura 7. Foto de un puro encendido. El humo se eleva y su estela es muy tenue, casi imperceptible en la foto, cuando el tabaco seco encendido no se excita con el oxigeno del aire por el fumador.

Con objeto de mostrar la dinámica del aire a la salida de un tubo colocado enfrente de una tabla, para simular dinámicamente el fenómeno del artefacto del dios L, suponiendo que es un aerófono que se toca enfrente de una pared, se hizó un experimento con talco inyectado con una corriente de aire (con una bomba de pie para lanchas inflables). Su comportamiento se muestra en la Figura 8:


Figura 8. Foto de la corriente de aire mezclado con talco.

En la Figura 8 se puede ver que el chorro de aire con talco del experimento tiene un comportamiento similar al de las volutas que salen del objeto que tiene en la boca el dios L de Palenque. Si los artistas mayas que esculpían figuras en piedra eran realistas e inteligentes, lo que se cree cierto, el objeto representado en el bajo-relieve del dios L de Palenque puede ser un artefactos de viento. La siguiente pregunta obligada es ¿qué tipo de artefacto de viento podría ser? No era una trompeta, como alguien ha sugerido, porque ésta se toca fuera de la boca para permitir que vibren los labios con libertad. La forma externa y la posición en que se muestra el artefacto de viento se adapta bien a la manera en que se toca el Ehekachiktli bucal. En la Figura 9 se muestra el modelo de barro respectivo.


Figura 9. Modelo experimental del aerófono del dios L, de ~ 24 cm de largo.


Con ese modelo experimental es posible conocer sus sonidos y los componentes espectrales (Figura 10).


Figura 10. Espectrograma del sonido del modelo experimental de barro del aerófono del dios L.
(El sonido es como el silbido, gruñido o gemido de un ser desconocido o de otro mundo)

En el pasado había otros dioses importantes que tocaban ese tipo de aerófonos ruidosos, como el mismo Ehécatl que aparacece en la iconografía antigua danzando con su Tlemaitl (sahumador) rugidor.

Para aquellos que quieran profundizar un poco en el tema de los aerófonos antiguos, en el Instituto Virtual de Investigación Tlapitzcalzin y en los sitios de sus miembros se dispone de un conjunto amplio de estudios abiertos, incluyendo una tesis de maestría. Ese sitio es virtual, porque sólo existe en los bits de la red, pero sus miembros muestran más estudios sobre aerófonos antiguos que ninguna institución real del mundo material. Gonzalo Sanchez, estudiante de etnomusicología de la Escuela Nacional de Música de la UNAM, ha venido estudiando Aerófonos Zapotecos. Angel Mendoza, de Nican, Juxtlahuaca, Oaxaca, es un diablo Mixteco que danza, ama la naturaleza y ha estudiado unos silbatos e instrumentos Mixtecos. Mario y Gregorio Cortes, de Texcoco, tienen un taller del barro cantador de México, Ah Pax Chul.